Благодарим ви, че посетихте Nature.com. Използвате версия на браузър с ограничена поддръжка на CSS. За най-добро изживяване ви препоръчваме да използвате актуализиран браузър (или да деактивирате режима на съвместимост в Internet Explorer). Междувременно, за да осигурим постоянна поддръжка, ние показваме сайта без стилове и JavaScript.
Конструкциите от сандвич панели се използват широко в много индустрии поради високите си механични свойства. Междинният слой на тези структури е много важен фактор за контролиране и подобряване на техните механични свойства при различни условия на натоварване. Вдлъбнатите решетъчни структури са изключителни кандидати за използване като междинни слоеве в такива сандвич структури по няколко причини, а именно да настроят тяхната еластичност (напр. коефициент на Поасон и стойности на еластична коравина) и пластичност (напр. висока еластичност) за опростяване. Свойствата на съотношението якост към тегло се постигат чрез регулиране само на геометричните елементи, които изграждат единичната клетка. Тук изследваме реакцията на огъване на 3-слоен сандвич панел с вдлъбната сърцевина, използвайки аналитични (т.е. теория на зигзаг), изчислителни (т.е. краен елемент) и експериментални тестове. Ние също така анализирахме ефекта на различни геометрични параметри на структурата на вдлъбната решетка (напр. ъгъл, дебелина, съотношение дължина на единична клетка към височина) върху цялостното механично поведение на сандвич структурата. Ние открихме, че основните структури с ауксетично поведение (т.е. отрицателен коефициент на Поасон) показват по-висока якост на огъване и минимално напрежение на срязване извън равнината в сравнение с конвенционалните решетки. Нашите открития могат да проправят пътя за разработването на усъвършенствани инженерни многослойни структури с архитектурни основни решетки за космически и биомедицински приложения.
Благодарение на тяхната висока якост и ниско тегло, сандвич структурите се използват широко в много индустрии, включително проектиране на механично и спортно оборудване, морско, космическо и биомедицинско инженерство. Вдлъбнатите решетъчни структури са един потенциален кандидат, който се разглежда като основни слоеве в такива композитни структури поради техния превъзходен капацитет за поглъщане на енергия и свойства с високо съотношение на якост към тегло 1,2,3. В миналото бяха положени големи усилия за проектиране на леки сандвич структури с вдлъбнати решетки за допълнително подобряване на механичните свойства. Примери за такива конструкции включват натоварвания под високо налягане в корабни корпуси и амортисьори в автомобили4,5. Причината, поради която структурата на вдлъбната решетка е много популярна, уникална и подходяща за изграждане на сандвич панели, е нейната способност да настройва независимо своите еластомеханични свойства (напр. еластична коравина и сравнение по Поасон). Едно такова интересно свойство е ауксетичното поведение (или отрицателното съотношение на Поасон), което се отнася до страничното разширение на решетъчна структура, когато е разтегната надлъжно. Това необичайно поведение е свързано с микроструктурния дизайн на съставните елементарни клетки7,8,9.
След първоначалните изследвания на Лейкс за производството на ауксетични пени, бяха положени значителни усилия за разработване на порести структури с отрицателно съотношение на Поасон10,11. Предложени са няколко геометрии за постигане на тази цел, като хирални, полутвърди и твърди въртящи се единични клетки,12 всички от които показват ауксетично поведение. Появата на технологии за адитивно производство (AM, известни също като 3D печат) също улесни прилагането на тези 2D или 3D ауксетични структури13.
Ауксетичното поведение осигурява уникални механични свойства. Например, Lakes и Elms14 показаха, че ауксетичните пени имат по-висока граница на провлачване, по-висок капацитет за поглъщане на енергията на удара и по-ниска твърдост от конвенционалните пени. По отношение на динамичните механични свойства на ауксетичните пени, те показват по-висока устойчивост при динамични натоварвания на разрушаване и по-голямо удължение при чист опън15. В допълнение, използването на ауксетични влакна като подсилващи материали в композитите ще подобри техните механични свойства16 и устойчивостта на повреди, причинени от разтягане на влакна17.
Изследванията също така показват, че използването на вдлъбнати ауксетични структури като сърцевина на извити композитни структури може да подобри тяхната производителност извън равнината, включително твърдост и здравина на огъване18. С помощта на слоест модел също беше наблюдавано, че ауксетичното ядро може да увеличи якостта на счупване на композитните панели19. Композитите с ауксетични влакна също предотвратяват разпространението на пукнатини в сравнение с конвенционалните влакна20.
Zhang et al.21 моделира динамичното поведение при сблъсък на връщащите се клетъчни структури. Те откриха, че напрежението и абсорбцията на енергия могат да бъдат подобрени чрез увеличаване на ъгъла на ауксетичната единична клетка, което води до решетка с по-отрицателно съотношение на Поасон. Те също така предполагат, че такива ауксетични сандвич панели могат да се използват като защитни конструкции срещу ударни натоварвания с висока скорост на деформация. Imbalzano et al.22 също съобщават, че ауксетичните композитни листове могат да разсейват повече енергия (т.е. два пъти повече) чрез пластична деформация и могат да намалят максималната скорост на обратната страна със 70% в сравнение с еднослойните листове.
През последните години се отделя много внимание на числените и експериментални изследвания на сандвич структури с ауксетичен пълнител. Тези проучвания подчертават начини за подобряване на механичните свойства на тези сандвич структури. Например, разглеждането на достатъчно дебел ауксетичен слой като сърцевина на сандвич панел може да доведе до по-висок ефективен модул на Юнг от най-твърдия слой23. В допълнение, поведението на огъване на ламинирани греди 24 или тръби с ауксетична сърцевина 25 може да бъде подобрено с алгоритъма за оптимизация. Има и други проучвания за механично изпитване на сандвич структури с разширяема сърцевина при по-сложни натоварвания. Например, изпитване на компресия на бетонни композити с ауксетични инертни материали, сандвич панели при експлозивни натоварвания27, тестове за огъване28 и изпитвания за удар при ниска скорост29, както и анализ на нелинейно огъване на сандвич панели с функционално диференцирани ауксетични инертни материали30.
Тъй като компютърните симулации и експерименталните оценки на такива проекти често отнемат време и са скъпи, има нужда от разработване на теоретични методи, които могат ефективно и точно да предоставят информацията, необходима за проектиране на многослойни ауксетични сърцевини при произволни условия на натоварване. разумен срок. Съвременните аналитични методи обаче имат редица ограничения. По-специално, тези теории не са достатъчно точни, за да предскажат поведението на относително дебели композитни материали и да анализират композити, съставени от няколко материала с много различни еластични свойства.
Тъй като тези аналитични модели зависят от приложените натоварвания и граничните условия, тук ще се съсредоточим върху поведението на огъване на сандвич панелите с ауксетична сърцевина. Теорията на еквивалентния един слой, използвана за такива анализи, не може да предвиди правилно срязващите и аксиалните напрежения в силно нехомогенни ламинати в сандвич композити с умерена дебелина. Освен това в някои теории (например в теорията на слоевете) броят на кинематичните променливи (например преместване, скорост и т.н.) силно зависи от броя на слоевете. Това означава, че полето на движение на всеки слой може да бъде описано независимо, като същевременно се удовлетворяват определени физически ограничения за непрекъснатост. Следователно това води до отчитане на голям брой променливи в модела, което прави този подход скъп изчислително. За да преодолеем тези ограничения, ние предлагаме подход, базиран на теорията на зигзага, специфичен подклас на многостепенната теория. Теорията осигурява непрекъснатост на напрежението на срязване по цялата дебелина на ламината, като се приема зигзагообразен модел на измествания в равнината. По този начин теорията на зигзага дава същия брой кинематични променливи, независимо от броя на слоевете в ламината.
За да демонстрираме силата на нашия метод при прогнозиране на поведението на сандвич панели с вдлъбнати сърцевини при натоварвания на огъване, сравнихме нашите резултати с класическите теории (т.е. нашия подход с изчислителни модели (т.е. крайни елементи) и експериментални данни (т.е. триточково огъване на 3D отпечатани сандвич панели). За тази цел първо изведехме връзката на изместване въз основа на теорията на зигзага и след това получихме конститутивните уравнения, използвайки принципа на Хамилтън, и ги решихме, използвайки метода на Галеркин. Получените резултати са мощен инструмент за проектиране, съответстващо геометрични параметри на сандвич панели с ауксетични пълнители, улесняващи търсенето на структури с подобрени механични свойства.
Помислете за трислоен сандвич панел (фиг. 1). Параметри на геометричен дизайн: дебелина на горния слой \({h}_{t}\), средния слой \({h}_{c}\) и дебелина на долния слой \({h}_{ b }\). Ние предполагаме, че структурното ядро се състои от решетъчна структура с костилки. Структурата се състои от елементарни клетки, подредени една до друга по подреден начин. Чрез промяна на геометричните параметри на вдлъбната структура е възможно да се променят нейните механични свойства (т.е. стойностите на коефициента на Поасон и еластичната коравина). Геометричните параметри на елементарната клетка са показани на фиг. 1 включително ъгъл (θ), дължина (h), височина (L) и дебелина на колоната (t).
Теорията на зигзагата осигурява много точни прогнози за поведението на напрежение и деформация на слоести композитни структури с умерена дебелина. Структурното изместване в зигзагообразната теория се състои от две части. Първата част показва поведението на сандвич панела като цяло, докато втората част разглежда поведението между слоевете, за да се осигури непрекъснатост на напрежението на срязване (или така наречената зигзагообразна функция). Освен това зигзагообразният елемент изчезва върху външната повърхност на ламината, а не вътре в този слой. Така зигзагообразната функция гарантира, че всеки слой допринася за общата деформация на напречното сечение. Тази важна разлика осигурява по-реалистично физическо разпределение на зигзагообразната функция в сравнение с други зигзагообразни функции. Настоящият модифициран зигзагообразен модел не осигурява непрекъснатост на напречното напрежение на срязване по протежение на междинния слой. Следователно полето на изместване, базирано на теорията на зигзага, може да бъде написано по следния начин31.
в уравнението. (1), k=b, c и t представляват съответно долния, средния и горния слой. Полето на изместване на средната равнина по протежение на декартовата ос (x, y, z) е (u, v, w), а въртенето на огъване в равнината около оста (x, y) е \({\uptheta} _ {x}\) и \ ({\uptheta}_{y}\). \({\psi}_{x}\) и \({\psi}_{y}\) са пространствени величини на зигзагообразно въртене и \({\phi}_{x}^{k}\ ляво ( z \right)\) и \({\phi}_{y}^{k}\left(z\right)\) са зигзагообразни функции.
Амплитудата на зигзага е векторна функция на действителната реакция на плочата към приложеното натоварване. Те осигуряват подходящо мащабиране на зигзагообразната функция, като по този начин контролират общия принос на зигзагообразността към изместването в равнината. Деформацията на срязване по дебелината на плочата се състои от два компонента. Първата част е ъгълът на срязване, еднакъв по дебелината на ламината, а втората част е частично постоянна функция, еднаква по дебелината на всеки отделен слой. Съгласно тези частично постоянни функции, зигзагообразната функция на всеки слой може да бъде записана като:
в уравнението. (2), \({c}_{11}^{k}\) и \({c}_{22}^{k}\) са константите на еластичността на всеки слой, а h е общата дебелина на диска. Освен това \({G}_{x}\) и \({G}_{y}\) са среднопретеглените коефициенти на коравина на срязване, изразени като 31:
Двете зигзагообразни амплитудни функции (Уравнение (3)) и останалите пет кинематични променливи (Уравнение (2)) на теорията за деформация на срязване от първи ред съставляват набор от седем кинематики, свързани с тази модифицирана променлива на теорията на зигзагообразната плоча. Приемайки линейна зависимост на деформацията и като вземем предвид теорията на зигзага, полето на деформация в декартовата координатна система може да се получи като:
където \({\varepsilon}_{yy}\) и \({\varepsilon}_{xx}\) са нормални деформации и \({\gamma}_{yz}, {\gamma}_{xz} \ ) и \({\gamma}_{xy}\) са деформации на срязване.
Използвайки закона на Хук и като вземем предвид теорията на зигзага, връзката между напрежението и деформацията на ортотропна плоча с вдлъбната решетъчна структура може да се получи от уравнение (1). (5)32 където \({c}_{ij}\) е еластичната константа на матрицата напрежение-деформация.
където \({G}_{ij}^{k}\), \({E}_{ij}^{k}\) и \({v}_{ij}^{k}\) са изрязани силата е модулът в различни посоки, модулът на Йънг и коефициентът на Поасон. Тези коефициенти са еднакви във всички посоки за изотопния слой. В допълнение, за връщащите се ядра на решетката, както е показано на фиг. 1, тези свойства могат да бъдат пренаписани като 33.
Прилагането на принципа на Хамилтън към уравненията на движение на многослойна плоча с вдлъбната решетъчна сърцевина осигурява основните уравнения за дизайна. Принципът на Хамилтън може да се запише като:
Сред тях δ представлява вариационния оператор, U представлява потенциалната енергия на деформация, а W представлява работата, извършена от външната сила. Общата потенциална енергия на деформация се получава с помощта на уравнението. (9), където A е областта на средната равнина.
Приемайки равномерно прилагане на натоварването (p) в посока z, работата на външната сила може да се получи от следната формула:
Замяна на уравнението Уравнения (4) и (5) (9) и заместване на уравнението. (9) и (10) (8) и интегриране върху дебелината на плочата, уравнението: (8) може да бъде пренаписано като:
Индексът \(\phi\) представлява зигзагообразната функция, \({N}_{ij}\) и \({Q}_{iz}\) са сили в и извън равнината, \({M} _{ij }\) представлява момент на огъване и формулата за изчисление е както следва:
Прилагане на интегриране по части към уравнението. Чрез заместване във формула (12) и изчисляване на коефициента на вариация, определящото уравнение на сандвич панела може да се получи под формата на формула (12). (13).
Диференциалните управляващи уравнения за свободно закрепени трислойни пластини се решават по метода на Галеркин. При предположението за квазистатични условия неизвестната функция се разглежда като уравнение: (14).
\({u}_{m,n}\), \({v}_{m,n}\), \({w}_{m,n}\),\({{\uptheta}_ {\mathrm {x}}}_{\mathrm {m} \text{,n}}\),\({{\uptheta }_{\mathrm {y}}}_{\mathrm {m} \text {,n}}\), \({{\uppsi}_{\mathrm{x}}}_{\mathrm{m}\text{,n}}\) и \({{\uppsi}_{ \mathrm{y}}}_{\mathrm{m}\text{,n}}\) са неизвестни константи, които могат да бъдат получени чрез минимизиране на грешката. \(\overline{\overline{u}} \left({x{\text{,y}}} \right)\), \(\overline{\overline{v}} \left({x{\text {,y}}} \right)\), \(\overline{\overline{w}} \left( {x{\text{,y}}} \right)\), \(\overline{\overline {{{\uptheta}_{x}}}} \left( {x{\text{,y}}} \right)\), \(\overline{\overline{{{\uptheta}_{y} }}} \left( {x{\text{,y}}} \right)\), \(\overline{\overline{{\psi_{x}}}} \left( {x{\text{, y}}} \right)\) и \(\overline{\overline{{ \psi_{y} }}} \left( {x{\text{,y}}} \right)\) са тестови функции, които трябва да отговарят на минимално необходимите гранични условия. За само поддържани гранични условия тестовата функция може да бъде преизчислена като:
Заместването на уравнения дава алгебрични уравнения. (14) към управляващите уравнения, което може да доведе до получаване на неизвестни коефициенти в уравнение (14). (14).
Използваме моделиране с крайни елементи (FEM), за да симулираме компютърно огъването на свободно поддържан сандвич панел с вдлъбната решетъчна структура като сърцевина. Анализът беше извършен в търговски код с крайни елементи (например Abaqus версия 6.12.1). 3D хексаедрични твърди елементи (C3D8R) с опростена интеграция бяха използвани за моделиране на горния и долния слой, а линейни тетраедрични елементи (C3D4) бяха използвани за моделиране на междинната (вдлъбната) решетъчна структура. Извършихме анализ на чувствителността на мрежата, за да тестваме конвергенцията на мрежата и заключихме, че резултатите от изместването се сближават при най-малкия размер на характеристиката сред трите слоя. Сандвич плочата се натоварва с помощта на функцията за синусоидално натоварване, като се вземат предвид свободно поддържаните гранични условия на четирите ръба. Линейно еластичното механично поведение се разглежда като материален модел, присвоен на всички слоеве. Няма специфичен контакт между слоевете, те са свързани помежду си.
Използвахме техники за 3D печат, за да създадем нашия прототип (т.е. тройно отпечатан сандвич панел с ауксетична сърцевина) и съответната персонализирана експериментална настройка за прилагане на подобни условия на огъване (равномерно натоварване p по z-посоката) и гранични условия (т.е. просто поддържани). приети в нашия аналитичен подход (фиг. 1).
Сандвич панелът, отпечатан на 3D принтер, се състои от две обвивки (горна и долна) и вдлъбната решетъчна сърцевина, чиито размери са показани в таблица 1, и е произведен на 3D принтер Ultimaker 3 (Италия), използвайки метода на отлагане ( FDM). в процеса се използва технология. Ние 3D отпечатахме основната плоча и основната ауксетична решетъчна структура заедно и отпечатахме горния слой отделно. Това помага да се избегнат всякакви усложнения по време на процеса на премахване на опората, ако целият дизайн трябва да бъде отпечатан наведнъж. След 3D принтиране две отделни части се залепват заедно с помощта на суперлепило. Ние отпечатахме тези компоненти, използвайки полимлечна киселина (PLA) при най-висока плътност на пълнежа (т.е. 100%), за да предотвратим всякакви локализирани дефекти при печат.
Персонализираната система за затягане имитира същите прости опорни гранични условия, приети в нашия аналитичен модел. Това означава, че системата за захващане не позволява на дъската да се движи по ръбовете си в посоките x и y, което позволява на тези ръбове да се въртят свободно около осите x и y. Това се прави, като се вземат предвид филета с радиус r = h/2 в четирите ръба на системата за захващане (фиг. 2). Тази система за затягане също така гарантира, че приложеното натоварване е напълно прехвърлено от машината за изпитване към панела и подравнено с централната линия на панела (фиг. 2). Използвахме технология за многоструен 3D печат (ObjetJ735 Connex3, Stratasys® Ltd., САЩ) и твърди търговски смоли (като серията Vero), за да отпечатаме системата за захващане.
Схематична диаграма на 3D отпечатана персонализирана система за захващане и нейното сглобяване с 3D отпечатан сандвич панел с auxetic ядро.
Извършваме контролирани от движение квазистатични тестове за компресия, като използваме механичен тестов стенд (Lloyd LR, динамометрична клетка = 100 N) и събираме силите и изместванията на машината при честота на вземане на проби от 20 Hz.
Този раздел представя числено изследване на предложената сандвич структура. Предполагаме, че горният и долният слой са направени от въглеродна епоксидна смола, а решетъчната структура на вдлъбнатото ядро е направена от полимер. Механичните свойства на материалите, използвани в това изследване, са показани в таблица 2. В допълнение, безразмерните съотношения на резултатите от изместване и полетата на напрежение са показани в таблица 3.
Максималното вертикално безразмерно изместване на равномерно натоварена свободно поддържана плоча беше сравнено с резултатите, получени чрез различни методи (Таблица 4). Има добро съгласие между предложената теория, метода на крайните елементи и експерименталните проверки.
Сравнихме вертикалното изместване на модифицираната зигзагообразна теория (RZT) с 3D теория на еластичността (Pagano), теория на срязващата деформация от първи ред (FSDT) и резултатите от FEM (вижте Фиг. 3). Теорията на срязване от първи ред, базирана на диаграмите на преместване на дебели многослойни плочи, се различава най-много от еластичното решение. Модифицираната зигзагообразна теория обаче предвижда много точни резултати. В допълнение, ние също сравнихме напрежението на срязване извън равнината и нормалното напрежение в равнината на различни теории, сред които теорията на зигзагата получи по-точни резултати от FSDT (фиг. 4).
Сравнение на нормализирана вертикална деформация, изчислена с помощта на различни теории при y = b/2.
Промяна в напрежението на срязване (a) и нормалното напрежение (b) по дебелината на сандвич панел, изчислено с помощта на различни теории.
След това анализирахме влиянието на геометричните параметри на единичната клетка с вдлъбната сърцевина върху общите механични свойства на сандвич панела. Ъгълът на единичната клетка е най-важният геометричен параметър при проектирането на повторно влизащи решетъчни структури34,35,36. Следователно, ние изчислихме влиянието на ъгъла на единичната клетка, както и дебелината извън сърцевината, върху общото отклонение на плочата (фиг. 5). С увеличаване на дебелината на междинния слой, максималната безразмерна деформация намалява. Относителната якост на огъване се увеличава за по-дебели сърцевини и когато \(\frac{{h}_{c}}{h}=1\) (т.е. когато има един вдлъбнат слой). Сандвич панелите с ауксетична единична клетка (т.е. \(\theta =70^\circ\)) имат най-малки премествания (фиг. 5). Това показва, че якостта на огъване на ауксетичната сърцевина е по-висока от тази на конвенционалната ауксетична сърцевина, но е по-малко ефективна и има положителен коефициент на Поасон.
Нормализирано максимално отклонение на прът с вдлъбната решетка с различни ъгли на единична клетка и дебелина извън равнината.
Дебелината на сърцевината на ауксетичната решетка и аспектното съотношение (т.е. \(\theta=70^\circ\)) влияят върху максималното изместване на сандвич плочата (Фигура 6). Вижда се, че максималната деформация на плочата нараства с увеличаване на h/l. В допълнение, увеличаването на дебелината на ауксетичната сърцевина намалява порьозността на вдлъбнатата структура, като по този начин увеличава якостта на огъване на структурата.
Максималната деформация на сандвич панелите, причинена от решетъчни структури с ауксетична сърцевина с различни дебелини и дължини.
Изследването на полетата на напрежение е интересна област, която може да бъде изследвана чрез промяна на геометричните параметри на единичната клетка, за да се изследват режимите на повреда (напр. разслояване) на многослойни структури. Коефициентът на Поасон има по-голям ефект върху полето на напреженията на срязване извън равнината, отколкото нормалното напрежение (виж Фиг. 7). Освен това този ефект е нехомогенен в различни посоки поради ортотропните свойства на материала на тези решетки. Други геометрични параметри, като дебелината, височината и дължината на вдлъбнатите структури, имаха малък ефект върху полето на напрежение, така че не бяха анализирани в това изследване.
Промяна в компонентите на напрежението на срязване в различни слоеве на сандвич панел с решетъчен пълнеж с различни ъгли на вдлъбнатина.
Тук силата на огъване на свободно поддържана многослойна плоча с вдлъбната решетъчна сърцевина се изследва с помощта на теорията на зигзага. Предложената формулировка се сравнява с други класически теории, включително теория на триизмерната еластичност, теория на срязващата деформация от първи ред и FEM. Ние също валидираме нашия метод, като сравняваме нашите резултати с експериментални резултати върху 3D отпечатани сандвич структури. Нашите резултати показват, че теорията на зигзага е в състояние да предвиди деформацията на сандвич структури с умерена дебелина при натоварвания на огъване. Освен това беше анализирано влиянието на геометричните параметри на структурата на вдлъбната решетка върху поведението на огъване на сандвич панелите. Резултатите показват, че с увеличаване на нивото на ауксетика (т.е. θ <90), якостта на огъване се увеличава. В допълнение, увеличаването на аспектното съотношение и намаляването на дебелината на сърцевината ще намали якостта на огъване на сандвич панела. Накрая се изследва ефектът от коефициента на Поасон върху напрежението на срязване извън равнината и се потвърждава, че съотношението на Поасон има най-голямо влияние върху напрежението на срязване, генерирано от дебелината на ламинираната плоча. Предложените формули и заключения могат да отворят пътя към проектирането и оптимизирането на многослойни конструкции с вдлъбнати решетъчни пълнители при по-сложни условия на натоварване, необходими за проектиране на носещи конструкции в аерокосмическата и биомедицинска технология.
Наборите от данни, използвани и/или анализирани в настоящото проучване, са достъпни от съответните автори при разумно искане.
Aktai L., Johnson AF и Kreplin B. Kh. Числено симулиране на характеристиките на разрушаване на ядра от пчелна пита. инженер. фрактал. кожа. 75 (9), 2616–2630 (2008).
Gibson LJ и Ashby MF Порести твърди вещества: структура и свойства (Cambridge University Press, 1999).
Време на публикуване: 12 август 2023 г